Что такое «число» или «символ»

Текст главы Что такое «число» или «символ»? из книги 777 Каббала Алистера Кроули. Эта информация заставляет посмотреть на некоторые вещи под другим, непривычным углом. Рекомендую к прочтению. В «Книге Закона», I, 4 («Каждое число — бесконечность; различий нет») дается определение слову «число». Возможно, суть этого определения станет яснее, если мы рискнем перефразировать указанный стих. Первая его часть, «каждое число — бесконечность», на первый взгляд кажется внутренне противоречивой. Но это недоразумение возникает лишь потому, что мы привыкли понимать число не как вещь в себе, а всего лишь как некий объект в ряду однородных единиц. Эта концепция заложена во всех определениях, на которые опирается традиционная математическая аргументация. К примеру, никто не ставит под сомнение тождество двух таких выражений, как «2 плюс 1» и «1 плюс 2». Но «Книга Закона» предлагает принципиально иной взгляд на саму природу числа.

В математике существует понятие так называемого континуума, отличного по характеру (по крайней мере, на первый взгляд) от континуума физического. В физическом континууме глаз без труда отличает палочку длиной в один дюйм, от палочки длиной в два дюйма; но отличить объект длиной в тысячу миль от объекта длиной в тысячу миль и один дюйм он уже не способен, несмотря на то, что в обоих случаях разница составляет ровно один дюйм. Эта разница в один дюйм может быть как ощутимой, так и неощутимой — в зависимости от обстоятельств. Далее, глаз в состоянии отличить палочки длиной в один и два дюйма, с одной стороны, от палочки длиной в полтора дюйма — с другой. Но продолжать этот процесс сколь угодно долго нам не удастся: рано или поздно мы достигнем этапа, на котором две крайности будут еще отличимы друг от друга, но средняя точка между ними окажется неотличимой от них обеих. Если обозначить три эти объекта как А, В и С, то в физическом континууме А будет казаться равным В, а В — равным С, но при этом С будет зрительно больше, чем А. Здравый смысл подсказывает, что полагаться на подобные выводы невозможно: наше восприятие слишком грубо. Изобретать инструменты, повышающие точность наблюдений, бесполезно: даже если они и помогут нам провести различия между тремя объектами нашего ряда и восстановить теоретическую Иерархию, в ходе последующего членения на все более мелкие доли мы рано или поздно придем к ряду А’, B’ и C’, в котором A’ и C’ будут отличимы друг от друга, но ни А’, ни C’ невозможно будет отличить от B’. Ввиду вышеописанной проблемы современные мыслители попытались разграничить понятия математического и физического континуумов, хотя остается очевидным, что это затруднение объясняется лишь изъяном наших органов чувств, не позволяющим нам постичь истинную природу вещей методом наблюдения. Но в математическом континууме последовательное деление и нахождение среднего между любыми двумя математическими выражениями можно продолжать сколь угодно долго, не нарушая единообразия самого процесса и не попадая в ситуацию, в которой какие-либо два объекта окажутся неотличимыми друг от друга. Более того, математический континуум включает в себя не только целые числа, но и числа иного рода, которые, так же как и целые, выражают взаимосвязи между некими реально существующими идеями, но не поддаются измерению в категориях целых чисел. Эти числа иного типа образуют свой собственный континуум, вложенный в континуум целых, но не соприкасающийся с ним, не считая чисто случайных пересечений. Например: тангенсы углов между двумя лучами, последовательно расходящимися от совпадения к перпендикуляру, столь же последовательно возрастают от нуля до бесконечности. Но целое число в ряду этих тангенсов обнаруживается только одно — единица, соответствующая углу в 45°. Фактически, можно построить бесконечное множество таких рядов, и каждый из них будет обладать качеством бесконечной делимости. Девяносто углов, полученных с шагом в один градус на промежутке от 0 до 90°, дают нам девяносто тангенсов. Если мы уменьшим шаг в шестьдесят раз и вычислим тангенсы не для каждого градуса, а для каждой угловой минуты, то тангенсов в нашем ряду станет в шестьдесят раз больше. Аналогичным образом каждую угловую минуту можно разделить на шестьдесят секунд, и количество тангенсов вновь возрастет в шестьдесят раз. И так далее, до бесконечности. Все эти рассуждения основаны на предпосылке, согласно которой каждое число есть всего лишь выражение неких отношений. Новая концепция, представленная в «Книге Закона», никоим образом не противоречит этому традиционному взгляду, но дополняет его соображениями, чрезвычайно важными с практической точки зрения. Статистик, подсчитывающий уровень рождаемости в восемнадцатом веке, не считает нужным особо упомянуть о рождении Наполеона. Это не обесценивает его работу, но наглядно показывает, сколь ограничен подобный подход даже по критериям его собственной науки: ведь рождение Наполеона повлияло на уровень смертности гораздо сильнее, чем любой из факторов, традиционно учитываемых в статистических расчетах. Здесь нам придется сделать небольшое отступление. Возможно, еще не все об этом знают, но факты таковы, что математика и физика озабочены отнюдь не абсолютной истиной, а всего лишь отношениями между наблюдаемыми явлениями и наблюдателем. Утверждение о том, что скорость свободно падающего тела возрастает на тридцать два фута за одну секунду, — в лучшем случае лишь грубейшее приближение. Как известно большинству читателей, на Луне ускорение свободного падения в шесть раз меньше, чем на Земле. Но даже и на Земле оно существенно различается на полюсах и на экваторе и, более того, изменяется под влиянием столь малозначительных объектов, как, например, расположенная поблизости гора. Столь же неточным следует признать само понятие «повторяемости» эксперимента. Воспроизвести одинаковые условия дважды невозможно. Невозможно дважды вскипятить одну и ту же воду. При повторном кипячении вода будет уже другой, да и наблюдатель изменится. Человек, заявляющий, будто он сидит неподвижно, забывает о том, что на самом деле он с головокружительной скоростью мчится по просторам космоса. Не исключено, что именно такого рода соображения в свое время навели ученых на мысль, что бесполезно искать истину в чем бы то ни было, кроме математики. При этом они опрометчиво решили: раз ее законы непреложны, значит, они не могут противоречить истине. Но они упустили из виду то обстоятельство, что вся математика — такая же чистая условность, как правила игры в шахматы или в баккара. Утверждая, что «двумя прямыми линиями невозможно очертить замкнутое пространство», мы имеем в виду, что попросту не можем представить себе, как это сделать. Следовательно, истинность этого утверждения зависит от того, принимаем ли мы за высшее мерило истины собственный разум. А между тем встречаются безумцы, глубоко убежденные, что их преследуют некие таинственные враги. Однако эта их убежденность еще не дает нам оснований им верить. И нет смысла возражать, что математические истины, в отличие от бреда безумца, общепризнанны, — потому что это неправда. Чтобы убедить хотя бы немногих учеников в истинности геометрических теорем, пусть даже самых простых, требуется сложная и утомительная работа. А тех, кто убежден в истинности более сложных математических выводов (таких, например, как результаты математического анализа) или хотя бы просто знает об их существовании, и вовсе считанные единицы. Возражение, сводящееся к тому, что путем достаточно серьезного обучения можно было бы убедить всех поголовно, легко опровергается вопросом: а где гарантия, что подобное обучение не извращает ум ученика? Но даже если вынести все эти предварительные соображения за скобки, мы столкнемся с тем фактом, что любое высказывание по самой природе своей есть всего лишь заявление о неких соответствиях между некими идеями. В выбранном нами примере фигурируют пять идей: идеи двойственности, прямизны, линии, замкнутости и пространства. И все это — не более чем идеи. Каждая из них остается бессмысленной до тех пор, пока мы не определим ее через те или иные соответствия с какими-либо другими идеями. Для того, чтобы определить какое-либо слово, необходимо отождествить его по меньшей мере с двумя другими словами, которые, в свою очередь, также будут нуждаться в определении. Попытка дать определение из одного-единственного слова очевидным образом породит тавтологию. Таким образом, мы неизбежно приходим к выводу, что любое исследование сводится к obscurum per obscurium «(Объяснение) неясного еще более неясным» (лат.). Рассуждая логически, дело обстоит еще хуже. Допустим, мы определяем А как ВС, где В есть DE, а С есть FG. В результате количество неизвестных величин растет в геометрической прогрессии на каждом шагу, но даже не это главное. Главное — то, что рано или поздно мы неизбежно дойдем до некоего пункта Z, определить который не удастся без обращения к термину А. В порочный круг замыкается не только любая дискуссия, но и предваряющий любую дискуссию процесс определения терминов. Ввиду вышесказанного может сложиться впечатление, что рассуждать и делать какие-либо выводы вообще невозможно. Но это верно лишь в вопросе о том, какую ценность имеют наши высказывания в конечном счете. На практике же мы смело можем утверждать, что вода закипает при 100 градусах Цельсия (Пересматривая эти рассуждения, я сообразил, что упустил виду одно забавное обстоятельство: сама шкала Цельсия основана на том, что за 100° в ней принимается точка кипения воды! На леднике Балторо я столько раз наблюдал, как вода закипает при 84°С, и вычислял исходя из этого высоту своего местонахождения над уровнем моря, что само определение шкалы Цельсия вылетело у меня из головы. — Примеч. А. Кроули.), — несмотря на то, что утверждение, будто вода всегда закипает при одной и той же температуре, ошибочно со строго математической точки зрения, а сам термин «вода» с точки зрения логики остается непостижимой тайной. Но вернемся к нашей, с позволения сказать, аксиоме: «Двумя прямыми линиями невозможно очертить замкнутое пространство». Одно из важнейших открытий современной математики заключается в том, что это утверждение — вовсе не абсолютная истина (даже если признать определения всех использованных в нем терминов сугубо относительными). С точки зрения здравого смысла оно так же ошибочно, как и заявление о неизменности точки кипения воды. Больяй, Лобачевский и Риман (Больяй (Больяи, Бойаи, Бояи), Янош (1802—1860), Риман, Георг Фридрих Бернхард (1826—1866) и Лобачевский, Николай Иванович (1792—1856) — великие математики XIX века, основатели неевклидовой геометрии.) убедительно доказали, что непротиворечивую систему геометрии можно построить на основе любой произвольно взятой аксиомы. Если предположить, что сумма внутренних углов треугольника больше или меньше суммы двух прямых углов, а не равна ей, то можно построить сразу две новые геометрические системы, внутренне полностью непротиворечивые, — и у нас не будет ни малейшей возможности понять, какая же из них истинна. Проиллюстрирую это положение простой аналогией. Возьмем такое обычное выражение, как, например, «Мы едем из Франции в Китай». Форма этого выражения подразумевает, что упомянутые страны стоят на месте, а мы перемещаемся. Но сам факт, о котором мы говорим, с равным успехом можно было бы описать иначе: «Франция нас покидает, а Китай приходит к нам». Ни в том, ни в другом случае об абсолютном движении нет и речи: движение Земли в космическом пространстве в расчет не принимается. Используя привычные выражения, наподобие вышеприведенного, мы бессознательно подразумеваем некую стандартную точку покоя, которой, как известно, в действительности не существует. Утверждая, что стул, на котором я сижу, на протяжении последнего часа оставался в покое, я имею в виду, что он покоился лишь относительно меня самого и моего дома. Но в действительности за это время он переместился больше чем на тысячу миль вследствие вращения Земли вокруг своей оси и еще примерно на семьдесят тысяч миль — вследствие движения Земли по орбите вокруг Солнца. Все, чего можно ожидать от какого бы то ни было высказывания, — что оно не вступит в противоречие с неким рядом допущений, заведомо ложных и чисто условных. Те, кто никогда не пытался исследовать суть чувственного опыта, ошибочно полагают, будто он дает нам критерии, позволяющие отличить истинную символическую интерпретацию Природы от ложной. Они думают, что евклидова геометрия описывает Природу верно, — на том основании, что, измерив внутренние углы треугольника, можно убедиться на практике, что сумма их действительно равна сумме двух прямых углов, точь-в-точь, как и гласят теоретические выкладки Евклида. Но они забывают, что сами инструменты, используемые для этих измерений, созданы на основе принципов евклидовой геометрии. Иными словами, они отмеряют десять ярдов деревяшкой, о которой не знают ровным счетом ничего, кроме того, что длина ее составляет одну десятую от тех самых десяти ярдов, которые нужно отмерить. Заблуждение налицо. Достаточно даже простейшего рассуждения, чтобы убедиться, что результаты наших измерений зависят от всевозможных условностей. На вопрос «Какова высота столбика ртути в термометре?» мы можем ответить лишь, что это зависит от температуры самого термометра. Фактически, мы судим о температуре по разнице коэффициентов расширения двух нагреваемых веществ — стекла и ртути. Более того, сами деления на шкале термометра зависят от температуры кипения воды, а эта температура не постоянна. Она зависит от давления земной атмосферы, которое может колебаться (в зависимости от времени и места) с амплитудой более двадцати процентов. Большинство людей, рассуждающих о «научной точности», даже понятия не имеют об элементарных фактах такого рода. Можно возразить, что, определив ярд как длину (при определенной температуре и давлении) эталонного бруска из хранилища Монетного двора в Лондоне, мы, по крайней мере, получаем возможность измерять длину других предметов путем прямого или опосредованного сравнения с этим эталоном. В грубом приближении так оно и есть. Но если бы длина всех предметов внезапно уменьшилась или увеличилась вдвое, мы бы этого не заметили. То же самое относится и к другим так называемым законам природы. У нас нет возможности даже определить, какое из двух событий произошло раньше, а какое — позже. Рассмотрим пример. Общеизвестно, что свет от Солнца до Земли доходит приблизительно за восемь минут. Поэтому события, происходящие на Солнце и на Земле одновременно (Само понятие одновременности, по внимательном рассмотрении, оказывается бессмысленным. См. «Пространство, время и тяготение» А.С. Эддингтона, стр. 51. — Примеч. А. Кроули. Эддингтон, Артур Стенли (1882—1944) — английский астрофизик, одним из первых оценивший важность специальной и общей теории относительности А. Эйнштейна и получивший первые подтверждения описанных ею эффектов. Его работа «Пространство, время и тяготение» (1920) опубликована в русском переводе (М.: «Эдиториал УРСС», 2003)), кажутся отстоящими друг от друга во времени на восемь минут; а с математической точки зрения, некоторое расхождение во времени имеет место для любых двух объектов, даже если они удалены друг от друга в пространстве всего на несколько ярдов. Ввиду этого обстоятельства, установить с математической точностью, какое из двух событий предшествовало другому во времени, невозможно. Сказать, что рана послужила причиной броска кинжала, будет столь же правомерно, как и заявить обратное. Забавную притчу на этот счет приводит Льюис Кэррол в своей «Алисе в Зазеркалье» (« — Ты не умеешь обращаться с Зазеркальными пирогами, — заметил Единорог. — Сначала раздай всем пирога, а потом разрежь его! Конечно, это было бессмысленно, но Алиса послушно встала, обнесла всех пирогом, и он тут же разделился на три части» (рус. пер. Н. Демуровой)) — которая, кстати сказать, как и предшествующая ей книга, битком набита всевозможными философскими парадоксами (Когда я бью по бильярдному шару и он приходит в движение, то причины этого события кроются в моей Воле и ее побуждениях, оформившихся задолго до физического действия как такового. Я могу рассматривать свое действие и реакцию шара как парные следствия существования вечной Вселенной. Движение моей руки и движение бильярдного шара — элементы общего состояния Вселенной, в которое она неизбежно пришла в результате состояния, в котором находилась за мгновение до того, и так далее, до бесконечности. Схожим образом и моя Магическая Работа — всего лишь одна из причин-следствий, неизбежно сопутствующих причинам-следствиям, приведшим в движение бильярдный шар. Поэтому физический удар по шару я могу рассматривать как причину-следствие побуждения моей Воли, состоявшего в том, чтобы привести шар в движение, и при этом неизбежно предшествовавшего самому удару. Но полной аналогии с Магической Работой здесь нет. Ибо природа моя такова, что мне приходится творить Магию, чтобы утвердить свою Волю; поэтому причина, по которой я совершаю Работу, тождественна причине, по которой шар приходит в движение, и два эти следствия могут располагаться во времени в любом порядке. См. полное обсуждение этой проблемы в части III «Книги Четыре». (Уже после того, как было написано это примечание, я прочитал «Пространство, время и тяготение», где приводятся схожие аргументы.) — Примеч. А. Кроули. См.: Алистер Кроули. Магия в теории и на практике. Указ. соч., стр. 137—139).